[통계] 정규모집단에서 모평균에 대한 양측검정

정규모집단으로 부터 크기가 n인 확률표본

 

${X}_1,\ ...\ ,\ {X}_n\ ~\ N\ (\mu ,\ i{\sigma }^2)$​

 

을 통해 다음 가설을 검정해보겠습니다.

 

가설

H0​ : μ = μ*   vs   H1​ : μ ≠ μ*

 

 

​

 

* 모수 모평균에 대한 좋은 점추정량을 제시

$\overline {X}\ =\ \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$​​

​

* 모분산을 아는경우 :

$\frac{\overline {X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$​

 

만약 귀무가설이 사실이라면,

$\frac{\overline {X}-{\mu }^*}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$

​

 

​양측검정

 

어떤 하나의 확률변수가 표준정규분포를 따른다면,

표준정규분포에서 임의의 확률변수를 뽑았을때

귀무가설이 맞다면 z값이 초록색으로 표시된 0근처에서 관측될 확률이 클것입니다.

​

만약 관측을 해봤더니 분포로 부터 멀리 떨어진 곳에서 발견이 된다면?

관측이 되지 말란 법은 없지만 관측될 확률이 상대적으로 굉장히 작을것​입니다.

​

그 낮은 확률임에도 불구하고 관측이 된다면 귀무가설이 사실이라고 가정한것을 의심해볼 필요가 있어집니다.

(*기각역에 포함된다고 해서 반드시 귀무가설이 틀린것은 아님! 기각역에 속할확률도 알파만큼 존재하기 때문)

​

 "p value가 유의수준(0.05)보다 작기 때문에 귀무가설을 기각한다." 는 말이 이런 원리로 나오게 됩니다.

 

가설검정 절차

Step1. 귀무가설과 대립가설을 설정한다.

​

Step2. 유의수준 알파를 설정한다.

​

Step3. 적절한 검정통계량을 선정한다. 이때, 검정통계량의 분포는 귀무가설이 사실이라는 가정하에 구한다.

​

Step4. 주어진 유의수준과 검정통계량의 분포에 부합하는 기각역을 계산한다.

​

Step5. 표본으로부터 검정통계량의 값을 계산한다.

​

Step6. 관찰된 검정통계량의 값과 기각역을 비교하여 결론(귀무가설의 기각 여부)을 내린다.

 

(자세한 내용은 이전 포스팅을 참고해 주세요.)

https://summerindata.tistory.com/6

[통계] 가설검정의 기본 개념

 

적용해보기

 

step1. 가설설정

${H}_0\ :\ \mu \ =\ {\mu }^*\ \ \ vs\ \ \ {H}_1\ :\ \mu \ \ne \ {\mu }^*$​

​

step2. 유의수준 설정

​

​

step3.

귀무가설이 사실이라는 가정하에,

$Z\ =\ \frac{\overline {X}-{\mu }^*}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$​

​

step4. 기각역 설정

$\left(-∞,\ -{z}_{\alpha /2}\right]\ \ and\ \ \left[{z}_{\alpha /2},+∞\right)$​

​

step5. 표본을 관찰하여 표본평균을 계산한하고 검정통계량 값 계산

$z\ =\ \frac{\overline {x}-{\mu }^*}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N\left(0,1\right)$​

​

step6. 결론도출

​

z값이 기각역에 속해 있으면 귀무가설 기각한다.

z값이 기각역에 속해있지 않으면 귀무가설을 함부로 귀무가설을 기각하지 못한다.